Introduction au calcul avancé et à ses applications en sciences

Mathématiques

Table des matières

AVANT-PROPOS

PRÉAMBULE Petite histoire du calcul différentiel et intégral

CHAPITRE 1 Propos hyperboliques

Sommaire et objectifs d'apprentissage
Un portrait de Leonhard Euler
1.1 Intérêt de l'étude des fonctions de plusieurs variables
1.2 Utilité des fonctions hyperboliques
1.3 Définition des fonctions hyperboliques
Histoire d'une notation
1.4 Définition des fonctions hyperboliques inverses
Graffiti
1.5 Identités hyperboliques
1.6 Formules de dérivation des fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses
Histoire d'une notation
Un peu d'humour
1.7 Formules d'intégration faisant appel aux fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses
Graffiti
Histoire d'une notation
Deux bonnes adresses
Résumé
Mots clés
Réseau de concepts
Exercices récapitulatifs
Exercices théoriques
Exercices d'application


CHAPITRE 2 Produit: dérivée

Sommaire et objectifs d'apprentissage
Un portrait de Joseph Louis Lagrange
Deux bonnes adresses
2.1 Fonctions de plusieurs variables
2.2 Représentations graphiques des fonctions de plusieurs variables
Graffiti
Graffiti
2.3 Limite d'une fonction de deux variables indépendantes
Histoire d'une notation
Graffiti
Quelques bonnes adresses
Graffitis
Un peu d'humour
2.4 Continuité
2.5 Dérivées partielles
2.5.1 Accroissement partiel et accroissement total
Graffiti
2.5.2 Dérivées partielles d'ordre 1
Histoire d'une notation
2.5.3 Interprétation géométrique des dérivées partielles d'ordre 1 pour une fonction de deux variables indépendantes
2.5.4 Interprétation analytique des dérivées partielles d'ordre 1
2.5.5 Dérivées d'ordre supérieur
Graffiti
2.5.6 Différentielle totale
2.5.7 Dérivation en chaîne
2.5.8 Dérivation implicite
2.5.9 Dérivée directionnelle
2.5.10 Gradient
Histoire d'une notation
2.6 Recherche des extremums d'une fonction de deux variables indépendantes
Un peu d'humour
Histoire d'une notation
Résumé
Mots clés
Réseau de concepts
Exercices récapitulatifs
Exercices théoriques
Exercices d'application


CHAPITRE 3 Des équations qui font toute une différence

Sommaire et objectifs d'apprentissage
Un portrait de famille : les Bernoulli
Graffiti
3.1 Importance des équations différentielles
3.2 Typologie des équations différentielles
3.3 Solution d'une équation différentielle
Graffiti
3.4 Équation différentielle à variables séparables
3.5 Équation différentielle linéaire d'ordre 1
Graffiti
Un peu d'humour
Graffiti
3.6 Équation différentielle homogène
Graffiti
3.7 Équation différentielle de Bernoulli
3.8 Équation différentielle résoluble par un changement de variable
Graffiti
3.9 Équation différentielle exacte
3.10 Équation différentielle transformable en équation différentielle exacte
3.11 Équation différentielle d'ordre supérieur à 1
3.11.1 Équation différentielle d'ordre n ne comportant qu'une seule dérivée
3.11.2 Équation différentielle linéaire homogène d'ordre 2 à coefficients constants
3.11.3 Équation différentielle linéaire non homogène d'ordre 2 à coefficients constants
3.12 Transformée de Laplace
3.12.1 Définition de la transformée de Laplace d'une fonction
3.12.2 Propriétés de la transformée de Laplace
Graffiti
3.12.3 Résolution d'une équation différentielle satisfaisant des conditions initiales à l'aide de transformée de Laplace
Résumé
Mots clés
Réseau de concepts
Exercices récapitulatifs
Exercices théoriques
Exercices d'application


CHAPITRE 4 « Full intégral »

Sommaire et objectifs d'apprentissage
Un portrait de John Charles Fields
4.1 Intégrale double sur une région
4.2 Évaluation d'une intégrale double par une intégrale itérée
4.3 Applications de l'intégrale double
4.3.1 Volume d'un solide compris entre deux surfaces
4.3.2 Aire d'une surface plane
4.3.3 Valeur moyenne d'une fonction
4.3.4 Caractéristiques d'une plaque mince couvrant une région R
4.4 Coordonnées polaires
4.4.1 Représentation analytique et graphique en coordonnées polaires
Graffiti
4.4.2 Tracé d'une courbe décrite en coordonnées polaires
4.4.3 Intégrale double en coordonnées polaires
Graffiti
4.5 Intégrale triple en cartésiennes
4.6 Coordonnées cylindriques
4.7 Coordonnées sphériques
Graffiti
Un peu d'humour
4.8 Changement de variable dans une intégrale multiple
Résumé
Mots clés
Réseau de concepts
Exercices récapitulatifs
Exercices théoriques
Exercices d'application


CHAPITRE 5 Un cas de sinusite

Sommaire et objectifs d'apprentissage
Un portrait de Jean-Baptiste Fourier
Deux bonnes adresses
5.1 Propriétés des fonctions périodiques paires et impaires
Graffiti
5.2 Propriétés de certaines intégrales définies portant sur des fonctions sinus et cosinus
5.3 Développement d'une fonction en série de Fourier
Histoire d'une notation
Graffiti
5.4 Développement en série de Fourier d'une fonction définie sur un intervalle
Résumé
Mots clés
Réseau de concepts
Deux bonnes adresses
Graffiti
Exercices récapitulatifs
Exercices théoriques
Exercices d'application


POST-SCRIPTUM Mathématiques d'hier à aujourd'hui


GLOSSAIRE


BIBLIOGRAPHIE


INDEX DES SUJETS


INDEX DES NOMS